* MÉTODO GRÁFICO
La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
RESTRICCIONES
0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.
FUNCIÓN OBJETIVO
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO
PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES
Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
Seguimos con la segunda restricción,
0,15X + 0,1y = 300
Tercera restricción,
0,072X + 0,027y = 108
En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.
Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos).
La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).
Función objetivo,
ZMAX = 4000x + 5000y
luego igualamos a 0.
4000x + 5000y = 0
luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la gráfica correspondientes a la ecuación (en esta ocasión es recomendable más de dos coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).
Una vez se ha esbozado la función objetivo (línea negra) sacamos replicas perpendiculares a esta que se encuentren con cada vértice, y solo en el caso en que la línea imaginaria perpendicular a la función objetivo no corte el polígono solución se ha encontrado la solución óptima. En otras palabras trasladamos la función objetivo por todo el polígono conservando la perpendicularidad con la original, la detenemos en los vértices y evaluamos si esta corta o no el conjunto solución.
Claramente solo en el punto "B", es decir en el vértice formado por la intersección de las ecuaciones 1 y 2, la línea imaginaria no corta el polígono solución, entonces es este punto el correspondiente a la coordenada óptima.
Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolución de ecuaciones lineales 2x2, y se pueden considerar varios métodos de solución entre ellos:
- Método por sustitución
- Método por igualación
- Método por reducción o Eliminación
- Método por eliminación Gauss
- Método por eliminación Gauss - Jordán
- Método por determinantes
La riqueza de las matemáticas nos deja suficientes alternativas, para mi gusto el método de reducción o eliminación es muy sencillo de aplicar.
El método por reducción o eliminación consiste en igualar los coeficientes de una de las variables multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos coeficientes queden iguales pero con signos contrarios.
Ecuación 1 0,12x + 0,2y = 500
Ecuación 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)
Ecuación 3 (2*(-2)) -0,30x - 0,2y = -600
Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100
Despejamos "x" x = -100 / (-0,18)
x = 555,55
luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales con el objetivo de despejar "y".
Ecuación 1 0,12x + 0,2y = 500
Reemplazamos "x" 0,12(555,55) + 0,2y = 500
Despejamos "y" 66,666 + 0,2y = 500
0,2y = 500 - 66,666
0,2y = 433,334
y = 433,334 / 0,2
y = 2166,67
De esta forma hemos obtenido los valores para "x" y "y".
Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT y XT'
x = XT
y = XT'
XT = 555,55
XT' = 2166,67
y la contribución obtenida (reemplazando las variables en la función objetivo) es de:
Zmax = 4000XT + 5000XT'
Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)
Zmax = 13.055.550
Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos mediante resolución porSolver - Excel, sin embargo recuerden que el método de búsqueda de la solución óptima en el método gráfico que utilizamos es el geométrico y que existe una posibilidad mucho más engorrosa pero igualmente efectiva, este es el método de iteración por vértice, y que consiste en hallar todas las coordenadas de los vértices y luego en cada coordenada se evalúa la función objetivo, (cada coordenada nos proporciona un valor en "x" y otro en "y", luego reemplazamos estos valores en la función objetivo "4000x + 5000y = ?" y luego evaluamos los resultados seleccionando la mayor cantidad).
Una herramienta muy útil al momento de resolver ejercicios mediante el método gráfico es una calculadora graficadora, como es el caso de la calculadora de encarta (disponible aquí).
VARIANTES EN EL MÉTODO GRÁFICO
Como en la mayoría de los casos el ejemplo con el que aquí se explicó el método gráfico es el ideal, es decir un ejercicio de conjunto acotado con solución óptima única, sin embargo existen una variedad de problemas diferentes a los ideales y que vale la pena analizar:
SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE
Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de programación lineal consiste en la cantidad de soluciones óptimas, gran cantidad de ellos presenta más de una solución óptima, es decir una solución en la cual la función objetivo es exactamente igual en una combinación cuantitativa de variables diferente.
Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el análisis de sensibilidad, es decir una vez encontradas múltiples soluciones iguales se debe proceder al comportamiento del consumo de los recursos y restricciones, evidentemente prevaleciendo el concepto de productividad de los recursos más limitados y costosos.
Un ejemplo de este caso es el siguiente:
La ebanistería "SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes prefabricadas para la elaboración de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un plan de producción enfocado a estas por la alta demanda que tiene de sus productos restantes. Las mesas que pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos modelos, modelo A y B, y estas no requieren más que ser ensambladas y pintadas. Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de pintura para elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que cada mesa modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el margen de utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y $10000 por cada mesa modelo B. Determine el modelo adecuado de producción para esta semana.
X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semana
Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana
Restricciones
2X + Y <= 10 "Horas de ensamble"
X + 2Y <= 8 "Horas de pintura"
X, Y => 0 "De no negatividad"
Función objetivo
Zmax = 20000X + 10000Y
La gráfica resultante sería:
Como nos podemos dar cuenta mediante la geometría en dos vértices la línea imaginaria perpendicular a la función objetivo no atraviesa el conjunto solución, por ende en dos puntos se presentan soluciones óptimas, que son los puntos B y C.
Observemos la solución óptima múltiple
Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0
Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000
Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000
Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000
Existen entonces dos soluciones óptimas
Solución óptima 1
X = 4 Y = 2
Solución óptima 2
X = 5 Y = 0
La pregunta siguiente es ¿cual decisión tomar?, pues depende de factores tales como una análisis de sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo distinto de determinados recursos (horas ensamble vs. horas pintura) y factores extras al modelo como lo puede llegar a ser en este caso una necesidad de espacio de almacenamiento, dado que existe una alternativa en la que se elaboran más mesas que en la otra, de todas formas es interesante el paso posterior a esbozar los resultados pues requerirá de la capacidad de quien toma las decisiones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ACOTADA
Otra de las variantes que presentan los modelos de programación lineal corresponde a los modelos de solución óptima no acotada, es decir problemas con infinitas soluciones óptimas. Hay que reconocer que en la vida real gran parte de estos problemas se deben a un mal planteamiento de las restricciones, sin embargo es común que este tipo de problemas sean evaluados en la vida académica.
Un ejemplo:
La compañía comercializadora de bebidas energéticas "CILANTRO SALVAJE" se encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en promoción se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, sin embargo existen 2 políticas que la empresa debe tener en cuenta. Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1500 bebidas de cualquier tipo.
Dado que se encuentran en promoción el precio de venta de ambas bebidas equivale a $1800 pesos.
Determine la cantidad de unidades que deben venderse!!
Variables
X = Cantidad de bebidas tipo A a vender
Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender
Restricciones
X => Y
X + Y => 1500
Función Objetivo
Zmax = 1800X + 1800Y
La gráfica resultante sería:
Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando indefinidamente la función objetivo, en estos casos se dice que la solución óptima no es acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.
SOLUCIÓN INFACTIBLE
El caso de la solución infactible es más típico de lo pensado, y corresponde a los casos en los cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones. Es muy común ver este fenómeno producto de inviables proporciones de oferta y demanda.
Un ejemplo:
La compañía de galletas "CAROLA" desea planificar la producción de galletas que tendrá que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compañía "CAROLA" se compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo (presentación D, presentación N o una combinación de ambas presentaciones), cada caja de galletas presentación D tiene un tiempo de elaboración de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de presentación N tiene un tiempo de elaboración de 3 horas y un tiempo de horneado de 1 hora. La compañía cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboración y con 480 horas de horneado.
Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentación D y N es de $8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de programación lineal el plan de producción que maximice las utilidades.
Variables
X = Cantidad de cajas de galletas presentación D a producir en 2 semanas
Y = Cantidad de cajas de galletas presentación N a producir en 2 semanas
Restricciones
2X + 3Y <= 550
3X + Y <= 480
X + Y => 300
Función Objetivo
Zmax = 8500X + 8100Y
La gráfica resultante es la siguiente:
Evidentemente no existe forma alguna de satisfacer todas las restricciones, por ende se concluye que no existe solución factible.
REDUNDANTES O SOBRANTES
Existen en los modelos de programación lineal un tipo de restricciones que no juegan rol alguno en la determinación del conjunto solución (de igual manera en la solución óptima), lo que lleva a deducir que estas son redundantes.
Por ejemplo:
La compañía "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente.
La compañía dispone como máximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la información suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades.
Las variables:
X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmente
Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente
Las restricciones:
2X + 3Y <= 300
3X + 5Y <= 840
4X + 5Y <= 450
Función Objetivo:
Zmax = 102000X + 98000Y
La gráfica resultante es la siguiente,
La solución óptima corresponde a:
X = 150
Y = 0
y la función objetivo quedaría.
Zmax = $15300000
Claramente podemos observar como la restricción 1 y la restricción 2 no determinan el conjunto solución, por ende se denominan restricciones redundantes o sobrantes
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Adición de fracciones
Adición de fracciones con igual denominador.
Para adicionar dos fracciones con denominadores iguales hace falta adicionar sus numeradores, y el denominador dejar sin cambios.| a | + | b | = | a + b |
| c | c | c |
Por ejemplo.
| 1 | + | 2 | = | 1 + 2 | = | 3 |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
Ejercicio sobre el tema adición y sustracción de fracciones con denominadores iguales
Adición de fracciones.
Para adicionar dos fraccione hace falta:- reducir fracciones al menor denominador común;
- adicionar numeradores de fracciones, y denominador dejar sin cambios;
- simplificar el fracción;
- Si le ha salido el fracción impropio, hay que transformar fracción impropio en el número mixto.
Por ejemplo.
| 29 | + | 44 | = | 29·3 | + | 44·2 | = | 87 | + | 88 | = | 87 + 88 | = |
| 30 | 45 | 30·3 | 45·2 | 90 | 90 | 90 |
| = | 175 | = | 35·5 | = | 35 | = | 18 + 17 | = 1 | 17 |
| 90 | 18·5 | 18 | 18 | 18 |
Ejercicio sobre el tema adición y sustracción de dos fracciones.
Adición de números mixtos
Para adicionar dos números mixtos hace falta:- reducir las partes fraccionarias de estos números al menor denominador común;
- adicionar separadamente las partes fraccionarias y enteras;
- Si al adicionar las partes fraccionarias ha salido un fracción impropio, extraiga la parte entera de este fracción y adiciónela a la parte entera sacada;
- simplificar el fracción.
Por ejemplo.
| 1 | 5 | + | 2 | 3 | = | 1 | 5·4 | + | 2 | 3·3 | = | 1 | 20 | + | 2 | 9 | = | 3 + | 20 + 9 | = |
| 6 | 8 | 6·4 | 8·3 | 24 | 24 | 24 |
| = | 3 + | 29 | = | 3 + | 24 + 5 | = | 3 + 1 | 5 | = 4 | 5 |
| 24 | 24 | 24 | 24 |
Ejercicio sobre el tema adición y susstracción de dos números mixtos.
Sustracción de fracciones
Sustracción de fracciones con igual denominador.
Restar fracciones con igual denominador es similar a la adición: basta con restar los numeradores y dejar el mismo denominador.| a | - | b | = | a - b |
| c | c | c |
Por ejemplo.
| 3 | - | 1 | = | 3 - 1 | = | 2 |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
Ejercicio sobre el tema adición y sustracción de fracciones con denominadores iguales
Sustracción de fracciones.
Para sustraer dos fracciónes hace falta:- reducir fracciones al menor denominador común;
- de numerador del primer fracción sustraer el numerador del otro fracción y dejar denominador sin cambios;
- simplificar el fracción.
Por ejemplo.
| 5 | - | 1 | = | 5 | - | 1·3 | = | 5 | - | 3 | = | 5 - 3 | = | 2 | = | 2 | = | 1 |
| 6 | 2 | 6 | 2·3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 2·3 | 3 |
Sustracción de números mixtos.
Para sustraer dos números mixtos hace falta:- reducir las partes fraccionarias de estos números al menor denominador común;
- si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la parte fraccionaria de sustraendo, transformarla en fracción impropio, reduciendo la parte entera en uno;
- aparte hacer sustracción de las partes enteras y aparte aquellas que son fraccionarias;
- simplificar el fracción.
Por ejemplo.
| 3 | 1 | - | 1 | 3 | = | 3 | 1·4 | - | 1 | 3·3 | = | 3 | 4 | - | 1 | 9 | = | 2 | 24 + 4 | - | 1 | 9 | = | 1 + | 28 - 9 | = |
| 6 | 8 | 6·4 | 8·3 | 24 | 24 | 24 | 24 | 24 |
| = | 1 + | 19 | = 1 | 19 |
| 24 | 24 |
Números racionales
Suma de números racionales
Para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar.
Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso:
Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores a través de multiplicaciones o divisiones que los igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos:
Notamos que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, por lo tanto multiplicamos al primer sumando por 5 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operación anterior.
Multiplicación de números racionales
La multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:
En este caso el resultado pudo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes.
En la multiplicación también existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los números enteros también son números racionales si se los expresa como fracción, para explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos:
Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno:
División de números racionales
Para dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador; a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos el siguiente ejemplo:
Como se puede notar, para dividir los números racionales, se debe multiplicar en cruz, tomando en cuenta que el numerador y el denominador de la primera fracción no cambia de orden, pero los de la segunda fracción si lo hacen para lograr el resultado final.
Potenciación de números racionales
Para la potenciación de un número racional, se deben seguir estas simples reglas:
Si el número racional posee distintas potencias para distinto numerador y el denominador, solo se procede a potenciar cada cociente y simplificar si es posible:
Si el número racional posee distintas potencias para distinto numerador y el denominador, solo se procede a potenciar cada cociente y simplificar si es posible:
Cuando se tiene el mismo valor en el numerador y el denominador, pero distinta potencia para cada uno, podemos sustraer la potencia del denominador de la del numerador y simplificar la fracción a un entero, de esta manera:
Aunque también se puede proceder de esta manera, tomando el mismo ejemplo:
Para elevar los números racionales a una potencia natural, elevamos el numerador y el denominador a dicha potencia:
En el caso de que la potencia sea negativa, simplemente invertimos la fracción y la potencia:
Si la potencia es -1, simplemente se invierte la fracción:
Cuando la potencia es igual a 0, el resultado es 1:
Si la potencia es igual a 1, el resultado será el mismo número racional:
Si se multiplican potencias con la misma base, en el resultado se mantiene la base y se suman los exponentes:
Si dividimos potencias con la misma base, utilizamos el mismo principio que con el producto, es decir que se mantiene la base pero se resta el exponente del segundo número racional del primero
Para resolver la potencia de una potencia, se deben multiplicar los exponentes:
Al multiplicar números racionales distintos con la misma potencia, se procede a multiplicar la fracción mientras se mantiene el exponente:
Para dividir números racionales distintos con la misma potencia, se debe realizar el procedimiento de la multiplicación en cruz y mantener el mismo exponente:
Números naturales
La sustracción o resta de números naturales es una operación que consiste en quitar o separar de un número mayor otro número menor, para hallar la diferencia entre dos números. Los términos de la sustracción son: Minuendo, Sustraendo , Resto o diferencia.
1’427.836 Minuendo : Número que ha de restar a otro.
- 978.345 Sustraendo : Número que ha de restarse por otro
__________
449.491 Diferencia: Resultado de la operaciónPara realizar la sustracción o esta de dos números naturales se toma el minuendo (cantidad mayor) y el sustraendo (cantidad menor), y se organizan las unidades debajo de las unidades, las decenas debajo de las decenas, así sucesivamente y se resta.
Para probar si el resultado de una resta es correcto, se toma la diferencia y se le suma el sustraendo y tiene que dar como resultado el minuendo.
1’427.836 Minuendo : Número que ha de restar a otro.
- 978.345 Sustraendo : Número que ha de restarse por otro
__________
449.491 Diferencia: Resultado de la operaciónPara realizar la sustracción o esta de dos números naturales se toma el minuendo (cantidad mayor) y el sustraendo (cantidad menor), y se organizan las unidades debajo de las unidades, las decenas debajo de las decenas, así sucesivamente y se resta.
Para probar si el resultado de una resta es correcto, se toma la diferencia y se le suma el sustraendo y tiene que dar como resultado el minuendo.
LA RESTA O SUSTRACCIÓN
La sustracción es la operación opuesta a la adición.
74 = 30 + 44 74 – 30 = 44 74 – 44 = 30 74 minuendo
Los términos de la diferencia se llaman minuendo, sustraendo –30 sustraendo
Y al resultado se le llama diferencia 44 diferencia
La prueba de la resta es: SUSTRAENDO + DIFERENCIA = MINUENDO
ESTIMACIÓN DE SUMAS Y RESTAS
Se redondean los términos de la operación al millar, centena, decena.... más próxima y
se opera.
Ejemplo: (Opera aproximando a las unidades de mil)
( 4.937 + 3.102 ) – 2.091=
( 5.000 + 3.000 ) – 2.000 =
8.000 – 2.000 = 6.000
Desempeño 1
Reconoce el entorno básico de geogebra a través de la interacción de sus
herramientas para construir triángulos semejantes y rectángulos
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